Изучение и исследование колебаний распределенных конструкций

Собственными колебаниями являются движения, совершаемые колебательной системой, которая после кратковременного внешнего возмущения предоставлена самой себе. При этом происходят периодические переходы одного вида энергии в другой, т. е. потенциальная энергия (энергия, определяемая положением системы), переходит в кинетическую энергию (энергию движения) и наоборот. Если сумма этих энергий в процессе колебаний сохраняется, то колебания будут недемпфированными (незатухающими) и система в этом случае называется консервативной. Если энергия системы уменьшается (например, из-за наличия трения), то происходят демпфированные (затухающие) колебания и система называется неконсервативной. В этой главе рассматриваются сначала недемпфированные, а затем демпфированные колебания. В пределах такого разделения отдельно рассматриваются линейные и нелинейные колебательные системы. Простейшим примером собственных колебаний является масса, колеблющаяся на пружине. Рассмотрим эти колебания в дифференциальной форме.

Дифференциальные уравнения свободных колебаний механической системы около положения равновесия

Свободными принято называть колебания, обусловленные действием восстанавливающих консервативных сил (упругих сил и их моментов, моментов гравитационных сил и пр.). Эти колебания осуществляются при отсутствии внешних сил.

Для вывода уравнений собственных колебаний можно воспользоваться уравнениями Лагранжа

(2.2.4.1)

Подставляя в уравнения (2.2.4.1) значения кинетической и потенциальной энергии системы, имеющей п степеней свободы, получим уравнения собственных колебаний

(2.2.4.2)

которые можно записать в следующем виде:

(2.2.4.3)

………………………………………………

.

Для систем с большим числом степеней свободы n уравнения (2.2.4.3) удобно представить в матричной форме

(2.2.4.4)

где

матрица инерции;

матрица жёсткости;

матрица-столбец обобщённых координат.

Уравнения (2.2.4.4) можно получить методом Лагранжа, если квадратичные формы кинетической и потенциальной энергий пред-: ставить в виде произведений матриц:

(2.2.4.5)

где индекс “T “-символ транспонирования тогда, записывая уравнения (2.2.4.1) в матричной форме, будем иметь

(2.2.4.6)

где q = q1, q2,…, qn. После выполнения соответствующих операций дифференцирования получим уравнение (2.2.4.4).

Свободные колебания системы с конечным числом степеней свободы. Собственные частоты и формы колебаний

Свободные колебания системы с конечным числом степеней свободы описываются уравнениями (2.2.4.3). Поскольку заранее предполагается, что движение такой системы будет колебательным, частные решения этих уравнений находим в виде:

(2.2.5.1)

где Ai и δ – амплитуды и фазы колебаний; k – частота.

Вычисляя производные и подставляя и в уравнение (2.2.5.1), получим систему алгебраических уравнений для определения амплитуд A1, A2,…, An:

(2.2.5.2)